Question

高等代数理论基础46：线性变换的运算

Answer 1

设 是线性空间V的两个线性变换,定义它们的乘积 为

性质：

1.线性变换的乘积也是线性变换

即 是线性的

2.线性变换的乘法适合结合律

3.线性变换的乘法一般不可交换

例： 上的线性空间 中,线性变换

,但一般

4.对任意线性变换 ,

对V的变换 ,若有V的变换 ,使

则称变换 可逆,变换 称为 的逆变换,记作

若线性变换 是可逆的,则它的逆变换 也是线性变换

即 是线性变换

设 是线性空间V的两个线性变换,定义它们的和 为

性质：

1.线性变换的和还是线性变换

即

2.线性变换的加法适合结合律与交换律

3.对任意线性变换 ,

4.分配律

左分配律

右分配律

对任意线性变换 ,定义负变换

负变换也是线性的,且

定义数域P中的数与线性变换的数量乘法

即

注： 还是线性变换

规律：

注：线性空间V上全体线性变换,对如上定义的加法与数量乘法,构成数域P上一个线性空间

n个线性变换 相乘,称为 的n次幂,简记作

定义

指数法则：

可逆时,

注：线性变换乘积的指数法则不成立

一般,

设

是V的一线性变换

定义

显然 是一线性变换,称为线性变换 的多项式

易证,若P[x]中

则

同一个线性变换的多项式的乘法可交换

例：

1.线性空间 中,求微商是一个线性变换

平移 是一个线性变换

由泰勒展开式

故 是 的多项式