Question

单调函数中间可以有断点吗

Answer 1

单调函数中间可以有断点。

单调函数中间可以有无穷个间断点，但至多有可数个。证明方法，首先考虑函数的值域间断点处的函数值可以对应一个小区间，所有的间断点对应的区间两两无交，这些区间至多可数个，所以间断点可数。

如果在无穷区间上一定有的，比如f（x）=[x]。在又穷区间上也存在有无穷间断点的单调函数，比如f（x）=1/[x]    x属于（0,1）。    

单调函数是若干个单调函数相接的函数，单调函数的定义域可以分成有限个区间，在其中每一个区间上都是单调的一元函数。即：若存在区间[a,b]的分法a=x0<x1<x2<…<xn=b，使在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,...,n)上函数f(x)都是单调的，则称f:[a,b]→R是分段单调的。

性质：

不强调区间的情况下，所谓的单调函数是指， 对于整个定义域而言，函数具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。举个例子，反比例函数是一个具有单调性的函数，而不是一个单调函数，因为在反比例函数的定义域上，并不呈现整体的单调性。

单调函数只是单调性函数中特殊的一种。区间具有单调性的函数并不一定是单调函数，而单调函数的子区间上一定具有单调性。具有单调性函数可以根据区间不同而单调性不同。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1>x2时都有f(x1)≤f(x2).那么就是f(x）在这个区间上是减函数(另一种说法为单调不增函数)。如果f(x1)<f(x2)，那么就说f(x）在这个区间上是严格减函数（另一种说法是减函数）。