Question

数列求和S(n)=∑(1/x^2)怎么算～～～帮帮

x=1,2,3,4,……，x
x为自然数～数列求和

Answer 1

如果还没有学高等数学的话，就不要思考这个问题，记住结果就行了。

一般采用傅立叶级数来计算，计算比较麻烦。
首先对y=x(0<x<pi) y=-x(-pi<x<0)的函数计算其傅立叶级数。
f(x)=pi/2-4/pi(cosx+1/3^2*cos3x+1/5^2*cos5x+....)
然后取0点，得到0＝pi/4-2/pi*(1+1/3^2+1/5^2+....)
推出pi^2/8=1+1/3^2+1/5^2+...
令y=∑(1/n^2)
y1=∑(1/(1+2n)^2)
y2=∑(1/(2n)^2)
于是得y=4*y2
而y=y1+y2
于是y=4/3*y1=pi^2/6

这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过，但是没有结果，而欧拉运用他娴熟的数学技巧给出了如下的算法。他实际上采用了泰勒展开的方法。
已知sinZ=Z-Z^3/3!+Z^5/5!-Z^7/7!+……（在此，n!表示n的阶乘）
而sinZ=0的根为0，±π,±2π,……（π表示圆周率）
所以sinZ/Z=1-Z^2/3!+Z^4/5!-Z^6/7!+……的根为±π,±2π,……
令w=Z^2,则1-w/3!+w^2/5!-w^3/7!+……=0的根为π^2，（2π)^2，……
又由一元方程根与系数的关系知，根的倒数和等于一次项系数的相反数，得
1/π^2+1/（2π)^2+1/(3π)^2+……=1/3!
化简，得1+1/2^2+1/3^2+……＝π^2/6
欧拉将毫无关系的三角函数与级数放在一起，解决了多年没有结果的问题，他的数学运用能力可见一斑，我们不妨从他的实例中学习解题的方法技巧，有时大胆猜想也是一种不错的办法。

xiaoj3的泰勒展开式子都不对，又如何能够结论的呢？

Answer 2

平方倒数和无穷级数是收敛的
其值为(π^2)/6
然而对于其部分和只能估值 不存在求和公式
一般的形如∑(1/x^p)(p>=2,p∈N')的级数均收敛 但部分和都不能用初等函数表示。

Answer 3

这个问题简单的方法可用到欧拉的：（猜想E） 的方法来解决的。。。
sinx=x(1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2)...
结果是：π^2/6这个问题简单的方法可用到欧拉的：（猜想E） 的方法来解决的。。。
sinx=x(1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2)...
结果是：π^2/6
这个问题简单的方法可用到欧拉的：（猜想E） 的方法来解决的。。。
sinx=x(1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2)...
结果是：π^2/6这个问题简单的方法可用到欧拉的：（猜想E） 的方法来解决的。。。
sinx=x(1-x^2/π^2）（1-x^2/4π^2）（1-x^2/9π^2)...
结果是：π^2/6