Question

求微分方程y'＋xy'²-y＝0的直线积分曲线

Answer 1

微分方程4x2y'2-y2=xy3，证明：与其积分曲线关于坐标原点(0，0)成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线。

也可以这样解微分方程为：x * y ' = 2y，做法是：取对数分离出常数 c，然后微分，xy'' - y' = 0 通解为：y = C1 / 2 * x^2 + C2，y ' = C1 * x，将 y'(1) = 1，y(1) = 1/2 代入得到：C1 = 1，C2 = 0，所以，解为：y'+xy'^2-y=0。

扩展资料：

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 。（第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分。（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：  ，其解为：  ，其中C是待定常数；如果知道  ，则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程：对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：  ，然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程：对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于方程： 

可知其通解：

其特征方程： 

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解。