Question

求 f(z)=x^2+2y^2+xyi 在哪些点可导,并判断在相

Answer 1

f(z)=x^2+2y^2+xyi
由于x,y均为实数，我们可将复数z表示为z=x+yi。
则f(z)可表示为：
f(z)=x^2+2y^2+xyi = u(x,y) + iv(x,y)
其中：
u(x,y) = x^2+2y^2
v(x,y) = xy
根据复变函数的可导定义，当函数在一点z0处可导时，存在一个复数b使得
lim_{z->z0} [(f(z)-f(z0))/(z-z0)] = b
若这个极限存在，则称函数在z0处可导。
我们来计算偏导数：
f_x = 2x+y i
f_y = 4y+x i
根据Cauchy-Riemann方程，当f(z)在一点z0处可导时，f_x和f_y应该满足：
f_x = i f_y
即
2x+y i = i(4y+x i)
化简得
2x+y i = 4yi + xi
则有
2x = xi
y = 2y
我们发现无论x和y取什么值，上述方程都不满足，因此f(z)在任意点处均不可导。
因此，函数f(z)=x^2+2y^2+xyi在任何点均不可导。