Question

请问 向量外积的分配律的证明方法

Answer 1

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解析:

三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>.

分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1）外积的反对称性：

a × b = - b × a.

这由外积的定义是显然的。

2）内积（即数积、点积）的分配律：

a·(b + c) = a·b + a·c,

(a + b)·c = a·c + b·c.

这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

3）混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：

i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

从而就推出：

ii) (a×b)·c = a·(b×c)

所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).

由i)还可以推出：

iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b + c))

= (r×a)·(b + c)

= (r×a)·b + (r×a)·c

= r·(a×b) + r·(a×c)

= r·(a×b + a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0

这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0

所以有

a×(b + c) = a×b + a×c.

证毕。