Question

等比数列的和是如何计算的？

Answer 1

用例题来理解等比数列。

先看看等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比。

来看下面这道题：

【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。

通过观察，会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。

2÷1=2；

4÷2=2；

8÷4=2；

……

1024÷512=2。

所以这个题目就是典型的等比数列求和题，

公比是2。

例1中，如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错。

在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。

☞ 错位相减法

令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，

G老师让A这个式子再乘以数列的公比，

会得到什么呢？

2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，

这样我们构造出了一个新数列，

而且这个数列的和等于原数列乘以公比。

再将两个式子相减，

G老师纯手写

左边是2A-A=A；

右边是2048-1；

等式右边其余的项都已经抵消了。

这样我们就得出结果了，

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047

再来看看下面这道题

【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187

分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。

令A=3+9+27+81+243+729+2187；

则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；

两式相减，

3A-A=2A=6561-3

2A=6558

A=6558÷2=3279

所以，

3+9+27+81+243+729+2187=3279

总结一下，等比数列的一般规律。

等比数列中，

公比=后一项÷前一项；

末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）。

注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘

如【例2】中，末项是2187，首项是3，项数n=7。

2187=3x3^(7-1)

等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)

（由错位相减法得出）