Question

用数学归纳法证明（1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…{1-1/(n+1)的平方}=2+n/2n？

Answer 1

第一步：n=2（1-1/4)(1-1/9)=2/32+n/2n+2=4/6=2/3所以,当n=2时（1-1/4){1-1/(n+1)的平方}=2+n/2n+2,满足条件第二步：假设n>=2时 （1-1/4){1-1/(n+1)的平方}=2+n/2n+2（1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…{1-1/(n+1)^2}...,2,证：当N=1时
（1-1/4)=3/4
所以当N=1时等式成立。
假设当N=n等式也成立。
现在证明当N=n+1等式也成立
（1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…)…{1-1/(n+1)^2}{1-1/(n+1)^2}
={(2+n)/(2n+2)}*{1-1/(n+2)^2}
={(2+n)/(2n+2)}*{（n+...,3,证明:(1)当n=1时,左边=1-1/2^2=3/4,右边=(2+1)/(2*1+2)=3/4.所以当n=1时命题成立
(2)假设当n=k时,命题成立,即(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…[1-1/(k+1)^2]=(k+2)/(2k+2),
则(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…[1-1/(k+1)^2]...,2,用数学归纳法证明
（1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…{1-1/(n+1)的平方}=2+n/2n+2