Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)*x^2-a*(a+2)x+b(a,b属于R)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调求a的取值范围

复制的答案不需要，换种方法，也简单点的方法

Answer 1

f'(x)=3x²+2(1-a)x-a(a+2)
=(x-a)[3x+(a+2)]
若a=-(a+2)/3,a=-1/2
则f'(x)=3(x-1/2)²>=0
此时在R上是单调函数，不合题意

a≠-1/2
f'(x)=0有两个不等的根

在(-1,1)不单调
即有增函数，也有减函数
所以导数在此范围内有正有负
所以f'(x)=0的根在这个范围内

f'(x)=(x-a)[3x+(a+2)]
两根是x=a,x=-(a+2)/3
则-1<a<1或-1<-(a+2)/3<1

-1<-(a+2)/3<1
-3<a+2<3
-5<a<1

综上
-5<a<-1/2,-1/2<a<1

Answer 2

据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1<x1<1，即 -1<a<1；
③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1，

综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝