Question

证明连续五个自然数是5的倍数？

Answer 1

假设连续的五个自然数是 $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$，其中 $n$ 是自然数。

我们知道，如果一个数是5的倍数，那么它一定能被5整除，也就是说，它除以5的余数是0。

因此，我们可以分别计算 $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$ 对5的余数：

- $n$ 除以5的余数是 $n\bmod 5$；
- $n+1$ 除以5的余数是 $(n+1)\bmod 5$；
- $n+2$ 除以5的余数是 $(n+2)\bmod 5$；
- $n+3$ 除以5的余数是 $(n+3)\bmod 5$；
- $n+4$ 除以5的余数是 $(n+4)\bmod 5$。

如果这五个余数都是0，那么这五个自然数就是5的倍数。

我们发现，当 $n\bmod 5=0$ 时，$n+1$ 除以5的余数是1，$n+2$ 除以5的余数是2，$n+3$ 除以5的余数是3，$n+4$ 除以5的余数是4。因此，如果 $n$ 除以5的余数是0，那么这五个自然数就不可能都是5的倍数。

同样地，当 $n\bmod 5=1$ 时，$n+1$ 除以5的余数是2，$n+2$ 除以5的余数是3，$n+3$ 除以5的余数是4，$n+4$ 除以5的余数是0。因此，如果 $n$ 除以5的余数是1，那么这五个自然数也不可能都是5的倍数。

类似地，我们可以验证 $n\bmod 5=2$、$n\bmod 5=3$、$n\bmod 5=4$ 的情况，发现这些情况下都不可能让这五个自然数都是5的倍数。

因此，连续五个自然数都是5的倍数是不可能的。