Question

二维连续型随机变量的和函数与高函数如何求密度函数

Answer 1

假设有两个连续型随机变量X和Y，其联合概率密度函数为f(x,y)。定义它们的和函数为Z=X+Y，高函数为W=X/Y。现在需要求Z和W的概率密度函数。
首先求Z的概率密度函数。可以使用卷积公式来求解。根据卷积公式，Z的概率密度函数f_Z(z)可以表示为：
f_Z(z) = ∫f(x, z-x)dx
其中，x的取值范围为(-∞, ∞)。因此，可以将上式中的f(x, z-x)表示为f(x, y)，然后对y积分，得到：
f_Z(z) = ∫f(x, z-x)dx = ∫f(x, y)dy
其中，y的取值范围为(0, ∞)，因为当y=0时，Z=X+Y的值为负数，概率密度为0。因此，Z的概率密度函数为：
f_Z(z) = ∫f(x, z-x)dx = ∫f(x, y)dy, 0 < z < ∞
接下来求W的概率密度函数。可以使用变量变换法来求解。定义变量U=X和V=X/Y，根据变量变换法，有：
f_W(w) = f_XY(h(w)) / |J(h(w))|
其中，h(w)表示变换函数，J(h(w))表示其雅可比行列式。由于U=X，V=X/Y，因此变换函数为：
U = X
V = X/Y
解出X和Y，有：
X = U
Y = V/U
雅可比行列式为：
J(h(w)) = |∂(X,Y)/∂(U,V)| = |1 0| = 1
因此，W的概率密度函数为：
f_W(w) = f_XY(h(w)) / |J(h(w))| = f(U,V) / U, U > 0, V > 0
其中，f(U,V)是(X,Y)的联合概率密度函数，可以通过变量变换法从f(X,Y)求解得到。
综上所述，对于二维连续型随机变量X和Y，其联合概率密度函数为f(x,y)，定义它们的和函数为Z=X+Y，高函数为W=X/Y，则Z的概率密度函数为：
f_Z(z) = ∫f(x, y)dy, 0 < z < ∞
W的概率密度函数为：
f_W(w) = f(U,V) / U, U > 0, V > 0
其中，U=X，V=X/Y，f(U,V)是(X,Y)的联合概率密度函数，可以通过变量变换法从f(X,Y)求解得到。