∫(0,π) f(sinx) dx为什么等于∫(0,π/2) f?
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因为∫(0, π)f(sinx)dx=∫(0, π/2)f(sinx)dx+∫(π/2, π)f(sinx)dx。对于第二个积分,令x=π-t, 则∫(π/2, π)f(sinx)dx=∫(π/2, 0)f(sint)(-dt)=∫(0, π/2)f(sint)dt=∫(0, π/2)f(sinx)dx。所以∫(0, π)f(sinx)dx=2∫(0, π/2)f(sinx)dx。
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
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