首先函数在一点处的导数和在该点处导函数的极限是两个不同的概念，前者是直接用导数定义求得，后者是利用求导公式求出导函数的表达式后再求该点处的极限，两者完全可以不相等。
例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0处的导数等于0，但其导函数在x=0处的极限不存在。但是在相当普遍的情况下，二者又是相等的，这个事实的本质上就是由导数极限定理所保证的。
导数极限定理是说：如果f(x)在x0的某领域内连续，在x0的去心邻域内可导，且导函数在x0处的极限存在（等于a），则f(x)在x0处的导数也存在并且等于a。
这个定理的重要之处在于，不事先要求f在x0处可导，而根据导函数的极限存在就能推出在该点可导，也就是说，导函数如果在某点极限存在，那么在该点导函数一定是连续的，而这正是一般函数所不具备的性质。
扩展资料：
1.利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）
如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。
2.利用有理化分子或分母求函数的极限
a.若含有，一般利用去根号
b.若含有，一般利用，去根号
3.利用两个重要极限求函数的极限
4.利用无穷小的性质求函数的极限
性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小
性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
5.分段函数的极限
求分段函数的极限的充要条件是:
6.利用抓大头准则求函数的极限
其中为非负整数.
7.利用洛必达法则求函数的极限
（可向，转换）
对于未定式“ ”型，“ ”型的极限计算，洛必达法则是比较简单快捷的方法。
8.利用定积分的定义求函数的极限
利用公式：
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
注意：
1、f'（x）<0是f（x）为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
2、导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如 
求导方法（定义法）：
①求函数的增量 
②求平均变化率；
③取极限，得导数。
参考资料：百度百科——导数
导数极限定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数导数与函数极限之间的关系。
以下是两个常见的导数极限定理：
1. 极限的线性性质：如果函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 处都有极限，那么对于任意实数 c，以下两个极限也成立：
- 极限的和：lim(xa) [f(x) + g(x)] = lim(xa) f(x) + lim(xa) g(x)
- 极限的乘积：lim(xa) [c * f(x)] = c * lim(xa) f(x)
这个定理说明了在求导数时可以将函数拆分成多个部分，并分别对每个部分求导数，然后再进行组合。
2. 导数的链式法则：如果函数 f(x) 在某点 a 处可导，而函数 g(x) 在对应的函数值 f(a) 处可导，那么复合函数 h(x) = g[f(x)] 在点 a 处可导，并且其导数为：
h'(a) = g'[f(a)] * f'(a)
这个定理说明了当函数嵌套在另一个函数内部时，求导数的过程需要考虑到内外函数的导数关系。
这些导数极限定理是微积分中的基本工具，它们在求导数和研究函数性质时起着重要的作用。通过应用这些定理，我们可以更方便地计算复杂函数的导数，并深入理解函数的性质和变化规律。
在微积分中，导数的极限定理是一些重要的极限关系，它们用于计算函数的导数。下面是一些常用的导数极限定理：
常数法则：如果 f(x) = c 是一个常数函数，其中 c 是常数，则 f'(x) = 0。即常数函数的导数为零。
幂函数法则：对于任意常数 a 和非零实数 n，若 f(x) = x^n，则 f'(x) = n*x^(n-1)。即幂函数的导数是幂次减一乘以原函数的系数。
和差法则：若 f(x) = u(x) + v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 是可导函数，则 f'(x) = u'(x) + v'(x)。即和的导数等于各部分的导数之和。
积法则：若 f(x) = u(x) * v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 是可导函数，则 f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。即积的导数等于一部分的导数乘以另一部分的值，再加上另一部分的导数乘以一部分的值。
商法则：若 f(x) = u(x) / v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 是可导函数，并且 v(x) 不等于零，则 f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2。即商的导数等于分子的导数乘以分母的值减去分母的导数乘以分子的值，再除以分母的平方。
这些导数极限定理是微积分中常用的工具，可以帮助我们计算各种函数的导数。同时，它们也是构建更复杂的导数计算的基础。
一般情况下，倒数极限定理可概括为：
1. 正倒数极限定理：如果函数f在某点的某领域内连续，且在此领域内除了该点的其他地方可微，并且倒数极限为正无穷，则函数在该点处的极限为正无穷。
2. 负倒数极限定理：如果函数f在某点的某领域内连续，且在此领域内除了该点的其他地方可微，并且倒数极限为负无穷，则函数在该点处的极限为负无穷。
这两个定理为我们提供了确定函数极限的有力工具，特别是对那些难以直接求解的复杂函数，如带有无穷小或无穷大元素的函数。
