Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.（1）证明:PF⊥FD；（2）判断并说明PA上是否存在点G,使得EG//平面PFD

Answer 1

(1)在矩形ABCD中，连结AF、DF。
因为三角形ABF和三角形CDF都是等腰直角三角形。
所以三角形AFD是等腰直角三角形，即FD⊥FA。
又PA⊥平面ABCD，且FD在平面ABCD内，所以FD⊥PA。
因为FA交PA=A，所以FD⊥平面PAF。
因为PF在平面PAF内，所以PF⊥FD。
(2)取PA的中点M、PD的中点N，连结MN、MB、NF。
因为MN//AD且MN=AD/2，而AD//BC且AD=BC，所以MN//BC且MN=BC/2=BF。
因此四边形BFNM是平行四边形，即MB//NF。
取MA的中点G，连结EG，则EG//MB//NF。
因为NF在平面PFD内、EG不在平面PFD内。
所以EG//平面PFD。

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