Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

Answer 1

第一个问题：
取PC的中点为G。
∵F、G分别是PC、PD的中点，∴FG是△PCD的中位线，∴FG∥CD、FG＝CD/2。
∵ABCD是矩形，∴AB＝CD、AE∥CD。
∵AE＝AB/2，∴AE＝CD/2，∴AE＝FG。
∵AE∥CD、FG∥CD，∴AE∥FG。
由AE＝FG、AE∥FG，得：AEGF是平行四边形，∴AF∥EG，而EG在平面PEC上，
∴AF∥平面AEC。

第二个问题：
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，且∠PCA＝PC与平面ABCD所成的角。
∵ABCD是矩形，∴AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（AB^2＋AD^2）＝√（4＋1）＝√5。
∴PC＝√（PA^2＋AC^2）＝√（1＋5）＝√6。
∴sin∠PCA＝PA/PC＝1/√6＝√6/6。
∴PC与平面ABCD所成角的正弦值为√6/6。

第三个问题：
过D作DM⊥EC交EC于M，过M作MN⊥EC交PC于N，则：∠DMN＝二面角P－EC－D的平面角。
∵ABCD是矩形，∴EC＝√（BE^2＋BC^2）＝√（AE^2＋AD^2）＝√（1＋1）＝√2。
∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCM，∠CBE＝∠DMC＝90°，
∴△CBE∽△DMC，∴BE/MC＝EC/CD＝BC/DM，∴AE/MC＝EC/AB＝AD/DM，
∴1/MC＝√2/2＝1/DM，∴MC＝DM＝√2。

∵PA⊥ABCD，∴∠PAE＝90°。
∵ABCD是矩形，∴∠CBE＝90°。
∵AE＝BE、PA＝AD＝CB、∠PAE＝∠CBE＝90°，∴△PAE≌△CBE，∴PE＝CE，
又G∈PC且PG＝CG，∴EG⊥CG，∴∠CGE＝∠CMN＝90°，而∠ECG＝∠NCM，
∴△ECG∽△NCM，∴GC/MC＝EC/NC，∴（1/2）PC/MC＝EC/NC，
∴NC＝MC×EC/［（1/2）PC］＝√2×√2/［（1/2）√6］＝2√6/3。
∴MN＝√（NC^2－MC^2）＝√（8/3－2）＝√6/3。

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD、CD＝AB＝2。
由CD⊥PA、CD⊥AD、PA∩AD＝A，得：CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，
∴cos∠PCD＝CD/PC＝2/√6＝√6/3。
∴DN^2＝MC^2＋CD^2－2MC×CDcos∠PCD＝2＋4－2√2×2√6/3＝6－8√3/3。

∴cos∠DMN
＝（MN^2＋DM^2－DN^2）/（2MN×DM）＝（2/3＋2－6＋8√3/3）/［2×（√6/3）√2］
＝（2－12＋8√3）/（4√3）＝（4√3－5）/（2√3）＝（12－5√3）/6。
∴二面角P－EC－D的余弦值为（12－5√3）/6。