Question

一道二阶非齐次线性微分方程的题目要详细过程。

Answer 1

特征方程为t^2-1=0, 得t=1, -1
所以齐次方程通解为y1=C1e^x+C2e^(-x)
设特解为y*=axsinx+bxcosx+csinx+dcosx
则y*'=asinx+axcosx+bcosx-bxsinx+ccosx-dsinx
y*"=acosx+acosx-axsinx-bsinx-bsinx-bxcosx-csinx-dcosx=2acosx-2bsinx-axsinx-bxcosx-csinx-dcosx
代入原方程：
(2a-2d)cosx+(-2b+2c)sinx-2axsinx-2bxcosx=xsinx
比较系数：
-2a=1
-2b=0
2a-2d=0
-2b+2c=0
解得：a=-1/2, b=0 c=0, d=-1/2
即y*=-1/2xsinx-1/2cosx
所以原方程的解为y=y1+y*=C1e^x+C2e^(-x)-1/2xsinx-1/2cosx