Question

求和：sn=x+2x²+3x³+……+nx^n(x≠0)

Answer 1

分类讨论 1.当x=1时 sn=1+2+3+.......+n=（n^2+n)/2
2.当x不为1时 sn=x+2x²+3x³+……+nx^n
所以xSn=0+x^2+2x^3+.....+(n-1)x^n+nx^(n+1)
上式减原来式子得到(x-1)Sn=-(x+x^2+x^3+....+x^n)+nx^(n+1)=-(x(1-x^n))/(1-x)+nx^(n+1)
所以Sn=nx^(n+1)+(x(1-x^n))/(x-1)^2

Answer 2

sn=x+2x²+3x³+……+nx^n
xsn=x^2+2x^3+3x^4+……+nx^(n+1)
Sn-xSn=x+x^2+2x^3+3x^4+...+x^n-nx^(n+1)
=[x^(n+1)-1]/(x-1)-nx^(n+1)
Sn=1/(1-x)*【[x^(n+1)-1]/(x-1)-nx^(n+1)】
=。。。

Answer 3

x=1，Sn=1+2+……+n=n﹙n＋1﹚÷2

x≠1
Sn=x+2x^2+3x^3+....+nx^n
xSn=x^2+2x^3+3x^4+....+(n-1)x^n+nx^(n+1)
相减
(x-1)Sn=-(x+x^2+x^3+....+x^n)+nx^(n-1)
=-x(x^n-1)/(x-1)+nx^(n+1)
Sn=-x(x^n-1)/(x-1)^2+nx^(n+1)/(x-1)

Answer 4