Question

设数列an满足a1+3a2+9a3+.....+3的n-1次方an+n/3,a属于正整数(1)求数列an的通项(2

Answer 1

a1+3a2+3^2a3+....3^(n-1)an=n/3吧
n=1时,a1=1/3
n>1时,a1+3a2+...+3^(n-2)a(n-1)+3^(n-1)an=n/3①
a1+3a2+...+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3②激庆枯
①明洞-②得3^(n-1)an=n/3-(n-1)/3=1/3, ∴an=1/3×(1/3)^(n-1)=(1/3)^n,n=1时也符合
∴an通差孝项为an=(1/3)^n=1/3^n
∴bn=n/an=n×3^n
Sn=1×3^1+2×3^2+3×3^3+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n③
3Sn=1×3^2+2×3^3+3×3^4+...+(n-1)×3^n+n×3^(n+1)④
④-③得2Sn=-1×3^1+(1-2)×3^2+(2-3)×3^3+...+[(n-1)-n]×3^m+n×3^(n+1)
=-3^1-3^2+3^3-...-3^n+n×3^(n+1)=-[3+3^2+3^3+...+3^n]+n×3^(n+1)
=-3×(3^n-1)/(3-1)+n×3^(n-1)=-[3^(n+1)-3]/2+n×3^(n+1)
=[-3^(n+1)+3+2n×3^(n+1)]/2=[(2n-1)×3^(n+1)+3]/2
∴Sn=[(2n-1)×3^(n+1)+3]/4

Answer 2

a1=1/旅冲兆3; a1+3a2=2/3 =>a2=1/9 =1/3^2
a1+3a2+9a3=1=>a3=1/27=1/3^3
a1+3a2+9a3+27a4=4/3 => a4=1/81=1/3^4
........=>拆租an=1/3^n.....(1)

bn=n/(1/3^n)=n*3^n
Sn=3+2*3^2+3*3^3+4*3^4+...+n*3^n
3Sn= 3^2+2*3^3+3*3^4+...+(n-1)*3^n +n*3^(n+1)
---------------------------------------------------
-2Sn=3+3^2+3^3+3^4+...+3^n - n*3^(n+1)=3(1-3^n)/(1-3) - n*3^(n+1)
=>Sn=(3/判唤4)(1-3^n)+n*3^(n+1)/2.....ans

Answer 3

由a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/滚亩大3
和a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an+3^na_(n+1)=(n+1)/3得
3^n*a_(n+1)=1/3
所以a_(n+1)=1/[3^(n+1)]
所以an=1/(3^n)=
所以bn=n*3^n
设它的前n项和为S
则S=3+2*3^2+…大竖………n*3^n
3S=3^2+2*3^3+…………(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
上两等式左右分别相减得
(1-3)S=3+3^2+3^3+…………3^n-3^(n+1)
=[3^(n+1)-3]/2+3^n-3^(n+1)
=3^n-[3^(n+1)+3]/2
所耐键以S=[3^(n+1)+3]-2*3^n