Question

已知函数f(x)=1/4x^4+x^3-9/2x^2+cx有三个极值点.若存在实数c，使函数f(x

)在区间[a,a+2]上单调递减，求a的取值范围。

Answer 1

不妨设为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则f'（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）．
所以f（x）的单调递减区间是（-∞，x1]，[x2，x3]
若f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，
则[a，a+2]⊂（-∞，x1]，或[a，a+2]⊂[x2，x3]，
若[a，a+2]⊂（-∞，x1]，则a+2≤x1．由（I）知，x1＜-3，于是a＜-5．
若[a，a+2]⊂[x2，x3]，则a≥x2且a+2≤x3．由（I）知，-3＜x2＜1．
又f'（x）=x3+3x2-9x+c，当c=-27时，f'（x）=（x-3）（x+3）2；
当c=5时，f'（x）=（x+5）（x-1）2．
因此，当-27＜c＜5时，1＜x3＜3．所以a＞-3，且a+2≤3．
即-3＜a＜1．故a＜-5，或-3＜a＜1．反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，
总可找到c∈（-27，5），使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减．
综上所述，a的取值范围是（-∞，-5）∪（-3，1）．