Question

当x>0时,求证ln[(1+x)/x]<1/x 详细点

Answer 1

方法一、利用函数单调性证明
不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0,t>0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)<f(0)=0,t>0即
ln(1+t)<t,t>0
我们取1/x(>0)替换t有
ln[(1+x)/x]<1/x,x>0命题得证。

方法二、中值定理证明
记f(x)=lnx,x>0,显f(x)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理条件
则存在ξ∈(x,x+1)使得
ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]=1/ξ
又1/(x+1)<1/ξ<1/x,其中ξ∈(x,x+1)
则有1/(x+1)<ln[(x+1)/x]<1/x
显然ln[(x+1)/x]<1/x,x>0命题成立。

追问

中值定理没学 还有t不能等于0吧

追答

方法一、利用函数单调性证明
不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)0即
ln(1+t)0
我们取1/x(>0)替换t有
ln[(1+x)/x]0命题得证。

追问

是（t+1）/t 不是(t+1)-t

追答

好吧 我再看看！

Answer 2

构造函数f(x)=ln(1+x)-x，x>0
求导得f'(x)=1/(1+x)-1
当x>0时，f'(x)<0,所以f(x)在（0,+无穷大)是减函数，
f(x)<f(0)=0.
即ln(1+x)<x
即ln(1+t)<t，令t=1/x得
ln(1+1/x)<1/x
ln[(1+x)/x]<1/x

追问

ln(1+x)＜x怎么得到ln(1+t)＜t

追答

把x换成t就可以了，因为都是变量。ln(1+m)<m什么的都可以啊，只是个符号而已

追问

感觉 有点奇怪啊