Question

定义在R上的函数f(x)满足：f(-x)+f(x)=x^2,当x<0,f'(x)<x,则不等式f(

定义在R上的函数f(x)满足：f(-x)+f(x)=x^2,当x<0,f'(x)<x,则不等式f(x)+1/2>=f(1-x)+x的解集为？

Answer 1

令g（x）=f（x）-1/2x，则g（-x）+g（x）=x²，当x＜0时，g'（x）＜x-1/2。
题目中不等式变为，g（x）≥g（1-x），
（1）由于当x＜0时，g'（x）＜x-1/2＜0，∴g（x）在（-∞，0）单调递减。
（2）g（0）=0
（3）当x＞0时，g（x）=x²-g（-x），g’（x）=2x+g’（-x），（其实这样就意味着这个函数（0，+∞）的单调性一切都有可能）

这里只能对x分成五类，x＜0，x=0，0＜x＜1,x=1，x＞1。
这样的话，这题的答案由我的经验，不是唯一的。唯一一个 确定的肯定是的解是x=1/2.

给你举例子，（1） x²-1/2x，x≤0
g（x）=
1/2x，x＞0，
这时候，不等式解为x≤ - 1/根号下2，或1/2≤x≤1+ 1/根号下2，

（2） 2x²-1/2x，x≤0
g（x）=
-x²+1/2x，x＞0，
这时候，不等式解为x≤1/2