Question

中值定理或命题证明中辅助函数构造的几种思路

Answer 1

前言：在现行人大版教材《微积分》中证明拉格朗日中值定理时,首先构造一个辅助函数,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。我认为关键是弄清楚如何构造这个辅助函数,一旦辅助函数构造出来了,剩下的只是一些验证演算了。下面主要介绍几种构造辅助函数证明拉格朗日中值定理的思路:在教材“中值定理”这一章节中,我们知道,把罗尔定理中的图形饶A点旋转就得到拉格朗日定理中的图形。反过来,我们可以将拉格朗日定理中的图形旋转一个角度,使旋转后得到的弦AB与水平轴(即x轴)平行,就变成了满足罗尔定理条件的图形了。将图形旋转一个角度,若直接利用坐标旋转公式去求出在新坐标系中的曲线方程,是相当困难的。现尝试将原来的函数加一个一次函数,设新函数为:ψ(x)=f(x)+mx+n,显然,它满足罗尔定理的前两个条件,现根据第三个条件ψ(a)=ψ(b)来选取m和n,例如,令ψ(a)=ψ(b)=0,得f(a)+ma+n=0f(b)+mb+n=0得m=-f(b)b--fa(a)n=af(bb)--baf(a)故ψ(x)=f(x)-f(a)b--fa(a)x+af(bb)--baf(a)如果令ψ(a。。。