Question

求大神解题！！！

已知f(x)=xlnx.证明：对一切x>0,都有lnx>1/e^x-2/ex

Answer 1

要证明ln(x)-1/e^x+2/(ex)>0
只需证明eln(x)-1/e^(x-1)+2/x>0
易证e^x>=x+1，就有-1/e^(x-1)>=-1/x
eln(x)-1/e^(x-1)+2/x>=eln(x)+1/x，x=1时等号成立
g(x)=eln(x)+1/x
g'(x)=e/x-1/x^2=0，x=1/e
易证x=1/e为极小值，且f(1/e)=0，因此f(x)>=0在x>0上成立
于是eln(x)-1/e^(x-1)+2/x>=eln(x)+1/x>0>=0，而两个等号不能同时成立，
因此eln(x)-1/e^(x-1)+2/x>0成立
∴lnx>1/e^x-2/ex

仅供参考
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