用比值判别法判定下列正项级数的敛散性
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记级数的通项为b[n] = (na/(n+1))^n = a^n/((n+1)/n)^n.
则b[n+1]/b[n] = (a^(n+1)/((n+2)/(n+1))^(n+1))/(a^n/((n+1)/n)^n)
= a·((n+1)/n)^n/((n+2)/(n+1))^(n+1).
当n → ∞时, ((n+1)/n)^n = (1+1/n)^n收敛到e, 同时((n+2)/(n+1))^(n+1)也收敛到e.
故b[n+1]/b[n]收敛到a.
根据比值判别法, 当0 < a < 1时级数收敛, a > 1时级数发散.
而当a = 1时, b[n] = 1/(1+1/n)^n收敛到1/e > 0, 级数通项不趋于0, 因此级数也发散.
综上, 级数∑(na/(n+1))^n在0 < a < 1时收敛, 在a ≥ 1时发散.
注: 其实本题用比较判别法会更为方便, 因为容易说明b[n]与a^n是同阶的.
则b[n+1]/b[n] = (a^(n+1)/((n+2)/(n+1))^(n+1))/(a^n/((n+1)/n)^n)
= a·((n+1)/n)^n/((n+2)/(n+1))^(n+1).
当n → ∞时, ((n+1)/n)^n = (1+1/n)^n收敛到e, 同时((n+2)/(n+1))^(n+1)也收敛到e.
故b[n+1]/b[n]收敛到a.
根据比值判别法, 当0 < a < 1时级数收敛, a > 1时级数发散.
而当a = 1时, b[n] = 1/(1+1/n)^n收敛到1/e > 0, 级数通项不趋于0, 因此级数也发散.
综上, 级数∑(na/(n+1))^n在0 < a < 1时收敛, 在a ≥ 1时发散.
注: 其实本题用比较判别法会更为方便, 因为容易说明b[n]与a^n是同阶的.
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