Question

已知：Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB

（1）如图1，点D在△ABC外，点E在AB边上时，求证：AD=CE，AD⊥CE；（2）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的内部，如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请证明；（3）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的外部，如图3，请直接写出AD，CE的数量关系及位置关系

我很急的！！！请快解答！

Answer 1

（1）如图1
在△ADB和△CEB中，DB=EB，AB=BC，∠ABD=∠EBC=90°，
∴△ADB≌△CEB（边、角、边），∴AD=CE，∠DAB=∠ECB。
在△AFE和△CEB中，∠FAE=∠DAB=∠ECB，∠AEF=∠CEB(对顶角相等)，
∴∠AFE=∠EBC=90°，即 AD⊥CE。
（2）依然成立。
在△ADB和△CEB中，DB=EB，AB=BC，
(∵∠ABD+∠ABE=90°，∠EBC+∠ABE=90°，∴∠ABD=∠EBC)
∴△ADB≌△CEB（边、角、边），∴AD=CE，∠DAB=∠ECB。
在△AFO和△COB中，∠FAO=∠DAB=∠OCB，∠AOF=∠COB(对顶角相等)，
∴∠AFO=∠OBC=90°，即 AD⊥CE。
（3）
同理 △ADB≌△CEB，∴AD=CE（两三角形全等，对应边相等）。

Answer 2

解：（1）证明：如图1所示，
在△ABD和△CBE中，

AB＝CB
∠ABD＝∠CBE＝90°
DB＝EB

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC，
∴∠BAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AD⊥CE；
（2）（1）中的结论AD=CE，AD⊥CE仍然成立，理由为：
证明：如图2所示，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB＝CB
∠ABD＝∠CBE
DB＝EB

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BCE+∠BOC=90°，∠AOF=∠BOC，
∴∠BAD+∠AOF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴AD⊥CE；
（3）AD=CE，AD⊥CE，理由为：
证明：如图3所示，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB＝CB
∠ABD＝∠CBE
DB＝EB

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF，
∴∠BCE+∠CMF=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AD⊥CE．