Question

已知数列{an}的首项a1=2/3,a(n+1)=(2an)/(an+1),1证明数列{(1/an)-1}是等比数列;2求an的通项公式.

Answer 1

1.
a(n+1)=(2an)/(an +1)
1/a(n+1)=(an +1)/(2an)=1/2 +(1/2)/an
1/a(n+1) -1=1/2 +(1/2)/an -1=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值
1/a1 -1=1/(2/3) -1=1/2
数列{1/an -1}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列
2.
1/an -1=(1/2)(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ
1/an=1+ 1/2ⁿ=(2ⁿ+1)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ+1)
n=1时，a1=2/(2+1)=2/3，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ+1)