Question

求解复变函数方程sinhz=1

我算到e^z=1+根号2或1-根号2.这里对吗？
后面怎么办？用ln的话，可1-根号2是负数呀？

Answer 1

 lnz = πi/2 z= e^(πi/2)=cos(2kπ + π/2) + isin(2kπ + π/2)。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了。

物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

Answer 2

记t=e^z, 则sinhz=(t-1/t)/2=1
得; t^2-2t-1=0
t=1±√2=√3e^(ip+i2kπ), 这里p=±arctan√2
由e^z=√3e^(ip)
两边取对数，得：
z=0.5ln3+ip+i2kπ

追问

1±√2=√3e^(ip+i2kπ) 这步不对吧，式子是1±√2，不是1±√2i哦。那个√3怎么来的？

追答

哦，是我搞错了。
是1±√2

当e^z=1+√2时，得z=ln(1+√2)

当e^z=1-√2时，e^z=(√2-1)e^iπ(2k-1),故z=ln(√2-1)+iπ(2k-1), 这里k为任意整数。