Question

利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性

Answer 1

解：f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.
给出证明如下：
设x1， x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=[ x1+√(x1²+1)]-[ x2+√(x2²+1)]
=(x1-x2)+( √(x1²+1)-√(x2²+1))
=(x1-x2)+ (x2²-x1²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
=(x1-x2)[1-(x2+x1)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
=(x1-x2)/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
∵√(x1²+1)> √(x1²)=|x1|≥x1，
∴√(x1²+1)-x1>0，同理，√(x2²+1)-x2>0，
又x1<x2，x1-x2<0
∴(x1-x2)/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)]]<0
即f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.