Question

什么叫高阶无穷小？什么叫低阶无穷小？o﹙Δx﹚为什么叫高阶无穷小而不叫叫低阶无穷小？

Answer 1

1、高阶无穷小：设α与β都是x的函数，且limα=0，limβ=0，即α，β都是无穷小。

2、低阶无穷小：符号φ(x)=o（ψ(x))表示函数φ(x)是比函数ψ(x)较高阶的无穷小，或φ(x)是比ψ(x)较低阶的无穷大。

3、高阶无穷小而不叫叫低阶无穷小的原因：β是比α较同阶的无穷小，即β→0与α→0是同样程度；若lim(β/α)=1，就说β是比α较等阶的无穷小，记作α∽β。

性质分析

在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”，这些数比零大，但比任何正实数都小。前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理，而“非标准”的无穷小量。

自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如 在 时是无穷小量，而不能笼统说 是无穷小量。也不能说无穷小是 ， 是指负无穷大。

Answer 2

符号φ(x)=o（ψ(x))表示函数φ(x)是比函数ψ(x)较高阶的无穷小，或φ(x)是比ψ(x)较低阶的无穷大。

符号φ(x)=O*(ψ(x))则表示φ(x)与比函数ψ(x)是同阶的无穷小，或无穷大。

设α与β都是x的函数，且limα=0，limβ=0，即α，β都是无穷小。、

若lim(β/α)=0，就说β是比α较高阶的无穷小，即β→0比α→0要快一些；

若lim(β/α)=∞，就说β是比α较低阶的无穷小，即β→0比α→0要慢一些；

若lim(β/α)=c≠0，就说β是比α较同阶的无穷小，即β→0与α→0是同样程度；

若lim(β/α)=1，就说β是比α较等阶的无穷小，记作α∽β；

若lim(β/α^k)=c≠0,k>0，就说β是关于α的k阶无穷小。

等价无穷小：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

Answer 3

设α与β都是x的函数，且limα=0，limβ=0，即α，β都是无穷小。
若lim(β/α)=0，就说β是比α较高阶的无穷小，即β→0比α→0要快一些；
若lim(β/α)=∞，就说β是比α较低阶的无穷小，即β→0比α→0要慢一些；
若lim(β/α)=c≠0，就说β是比α较同阶的无穷小，即β→0与α→0是同样程度；
若lim(β/α)=1，就说β是比α较等阶的无穷小，记作α∽β；
若lim(β/α^k)=c≠0,k>0，就说β是关于α的k阶无穷小。
符号φ(x)=o（ψ(x))表示函数φ(x)是比函数ψ(x)较高阶的无穷小，或φ(x)是比ψ(x)较低阶的无穷大；
符号φ(x)=O*(ψ(x))则表示φ(x)与比函数ψ(x)是同阶的无穷小，或无穷大。

Answer 4

课本上有概念的啊