Question

已知直线y=-4/3x-4与x 轴交与点A,与Y轴交与点B,抛物线y=x2-4x+5上的一点M(3,2)

（1）求点M到直线AB的距离
（2）抛物线上是否存在点p，使得三角形PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及三角形PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)AB方程:4x+3y+12=0
带入点到直线距离公式有d=|4*3+3*2+12|/√(16+9)=6
(2)A(-4,0),B(3,0),∴|AB|=5
设抛物线上的点为(t,t²-4t+5)
S=底*高/2,底是|AB|,高是P到AB的距离,因此要使得S最小,需要使得P到AB距离最小
设P到AB距离为s,带入公式,整理得s=|3t²-8t+27|/5
∵△=64-3*4*27<0,∴对於任何t,都有3t²-8t+27>0
∴s=(3t²-8t+27)/5
分子是二次函数,其顶点坐标为(4/3,65/3)
即当t=4/3时s最小
∴P(4/3,13/9)
Smin=1/2*s*|AB|=325/6