Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=(an²+an)/2，（1）求a1，a2，a3的值；

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=(an²+an)/2，
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）是否存在正数M使下列不等式：(2^n)▪a1▪a2.....an≥M根号（2n+1）▪（2a1-1）▪（2a2-1）.........2(an-1),对一切n∈N*成立？若存在，求出M的取值范围：若不存在，请说明理由。
说明：根号下是（2n+1）。其他的都不在根号下。

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

an>0
n=1时
S1=a1=(a1²+a1)/2
∴a1=1
n>=2时
S(n-1)=(a(n-1)²-a(n-1))/2
an=Sn-S(n-1)
∴(an+a(n-1))(an-a(n-1)-1)=0
an>0
∴an-a(n-1)=1
∴{an}是等差数列
an=1+n-1=n
a2=2,a3=3
（3）
(2^n)▪a1▪a2.....an≥M√（2n+1）▪（2a1-1）▪（2a2-1）.........2(an-1)

∴M≤[(2^n)▪a1▪a2.....an]/[√（2n+1）▪（2a1-1）▪（2a2-1）.........2(an-1)]
设f(n)=[(2^n)▪a1▪a2.....an]/[√（2n+1）▪（2a1-1）▪（2a2-1）.........2(an-1)]
f(n+1)=[(2^(n+1)*1*2*3...*n*(n+1)]/[√(2n+3)*(1*3*5*....(2n-1)(2n+1)]
f(n+1)/f(n)
=(2n+2)/[√(2n+1)*√(2n+3)]
=√[(4n^2+8n+4)/(4n^2+8n+3)]
>1
∴f(n)是增函数
∴f(n)>=1=2√3/3
∴0<M<=1=2√3/3
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