Question

高数 级数 这个级数的收敛域怎么求

Answer 1

作变换t=1/x，则原积分变为 ∫[0->﹢∞](sint)t^(p-2)dt
首先p-2≥0时，该积分是发散的，否则若是收敛的
则当A,B充分大时必有|∫[A->B](sint)t^(p-2)dt|≤1
取A=2kπ，B=(2k+1)π，则当k->+∞时，有
|∫[2kπ->(2k+1)π](sint)t^(p-2)dt|≥∫[2kπ->(2k+1)π](sint)(2kπ)^(p-2)dt
=(2kπ)^(p-2)∫[2kπ->(2k+1)π]sintdt=(2kπ)^(p-2)∫[0->π]sintdt
=2(2kπ)^(p-2)≥2，矛盾。∴p≥2，积分是发散的
而当p<2时，此时t=0也是个瑕点，
∴考虑∫[0->﹢∞](sint)t^(p-2)dt=∫[0->1](sint)t^(p-2)dt+∫[1->﹢∞](sint)t^(p-2)dt
∵∫[1->A]sintdt在A∈(1,+∞)上有界，而p-2<0时，t^(p-2)在[1，+∞)上单调递减->0
∴由Dirichlet判别法可知，p-2<0时，∫[1->﹢∞](sint)t^(p-2)dt是收敛的
∴原积分的收敛性取决于积分∫[0->1](sint)t^(p-2)dt
∵t->0时，sint~t，∴(sint)t^(p-2)~t^(p-1)
即∫[0->1](sint)t^(p-2)dt的收敛性等价于∫[0->1]t^(p-1)dt的收敛性
而后者的收敛域为p>0，∴前者的收敛域也是p>0
综上可知，原积分的收敛域为0<p<2

追问

太强了 就是好复杂 看不太懂。。

Answer 2

忘记了，好久没看到高数题了