Question

（1）设双曲线与椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一

（1）设双曲线与椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．（2）设椭圆 x 2 m 2 + y 2 n 2 =1 （m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y 2 =8x的焦点相同，离心率为 1 2 ，求椭圆的标准方程．

Answer 1

（1）椭圆 x 2 27 + y 2 36 =1 的焦点为（0，3），（0，-3） 所以双曲线的c 2 =9． 在椭圆上，令y=4，解得， x=± 15 ． 所以双曲线过点（ ± 15 ，4） 设双曲线方程 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 将点（ 15 ，4）代入，得 16 a 2 - 15 b 2 =1 ① 又a 2 +b 2 =c 2 =9② 由①②可以解得a 2 =4，b 2 =5． 双曲线方程 y 2 4 - x 2 5 =1 ； （2）由抛物线y 2 =8x，得p=4 抛物线右焦点是（2，0），即椭圆的焦点坐标是（2，0），则c=2 又e= c a = 1 2 ，故a=4 即m 2 =a 2 =16，n 2 =b 2 =a 2 -c 2 =16-4=12 ∴椭圆的标准方程为 x 2 16 + y 2 12 =1 ．