Question

已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线

已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为a=1，∴f（x）=x²-4x+2lnx，
所以f，（x）=2x-4+

2

x

=

2x2-4x+2

x

（其中x＞0），∴f（1）=-3，f'（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（其中a＞0）．
∴f′（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

（其中x＞0），
由f'（x）=0，得x₁=a，x₂=1；
①当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，在x∈（a，1）时f'（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，所以f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时f'（x）＞0，在x∈（1，a）时f'（x）＜0．
所以f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，最大值是f（e）；
当a＞1时，f（x）在区间[1，e]上只可能有极小值点，最大值只在区间的端点处取到，
即有f（1）=1-2（a+1）=-2a-1≤0，∴a≥-

1

2

；且f（e）=e²-2（a+1）e+2a=e²-2e-2（e-2）a≤0，整理得a≥

e2-2e

2e-2

，所以a的取值范围是{a|a≥

e2-2e

2e-2

}．