Question

（2012?商丘三模）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面EF

（2012?商丘三模）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面EFC⊥平面BCD；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥B-ADC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD．…（1分）
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．…（2分）
∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．…（3分）
∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC．…（5分）
∵BD?面BDC，∴平面EFC⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，AD⊥BD，
∴AD⊥面BCD，得AD是三棱锥A-BCD的高．…（8分）
∵BD=BC=1且CB=CD，∴△BCD是正三角形．…（10分）
因此，S△BCD＝

1

2

×1×

3

2

＝

3

4

，
∴三棱锥B-ADC的体积为VB?ACD＝VA?BCD＝

1

3

S△BCD?AD＝

1

3

×

3

4

×1＝

3

12

．…（12分）