Question

已知椭圆G：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且右顶点为A（2，0）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点

已知椭圆G：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且右顶点为A（2，0）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆G交于A，B两点，当以线段AB为直径的圆经过坐标原点时，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C的离心率e=

c

a

=

3

2

，右顶点为A（2，0），
∴a=2，c=

3

，b=1．
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．
由方程组

y＝kx+2 x2+4y2＝4

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．①…（6分）
因为方程①有两个不等的实数根，
所以△=（16k）²-4（4k²+1）×12＞0，
解得|k|＞

3

2

．…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

?16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

．②
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
所以 

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