Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点F2到直线l1：3x+4y=0的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C的

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，右焦点F2到直线l1：3x+4y=0的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k?k′为定值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：由题意得e＝

c

a

＝

1

2

，

|3c|

32+42

＝

3c

5

＝

3

5

，
∴c=1，a=2，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（Ⅱ）设过点F₂（1，0）的直线l方程为：y=k（x-1），
再设点E（x₁，y₁），点F（x₂，y₂），
将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

＝1，
整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
∵点P在椭圆内，
∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，
且x1+x2＝

8k2

4k2+3

x1?x2＝

4k2?12

4k2+3

，
直线AE的方程为：y＝

y1

x1?2

(x?2)，直线AF的方程为：y＝

y2

x2?2

(x?2)．
令x=3，得点M(3，

y1

x1?2

)，N(3，

y2

x2?2

)，
∴点P的坐标(3，

1

2

(

y1

x1?2

+

y2

x2?2

))，
直线PF₂的斜率为k′＝

1 2 ( y1 x1?2 + y2 x2?2 )?0

3?1

＝

1

4

(

y1

x1?2

+

y2

x2?2

)
=

1

4

y2x1+x2y1?2(y1+y2)

x1x2?2(x1+x2)+4

＝

1

4

?

2kx1x2?3k(x1+x2)+4k

x1x2?2(x1+x2)+4

，
将x1+x2＝

8k2

4k2+3

，x1x2＝

4k2?12

4k2+3

代入上式，得：k′＝

1

4

?

2k? 4k2?12 4k2+3 ?3k? 8k2 4k2+3 +4k

4k2?12 4k2+3 ?2 8k2 4k2+3 +4

＝?

3

4k

∴k?k'为定值?

3

4

．