Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，△AFC的面积为20，试求∠BFA的度数．

Answer 1

（1）BD是⊙O的切线，理由如下：


连结BO，如图∵BO=AO
∴∠BAO=∠ABO
∵AC为直径
∴∠BAO+∠ACB=90°
∵∠DBA=∠BCD
∴∠DBA+∠ABO=90°
即∠DBO=90°
∴OB⊥DB
∴BD是⊙O的切线．
（2）由圆周角定理可知∠BEF=∠ACF，∠EBF=∠CAF
∴△BFE∽△AFC，
∴

BF

AF

＝

S△BFE S△AFC

＝

10 20

＝

2

2

∴在Rt△ABF中，sin∠AFB＝

2

2

∴∠AFB=45°．