Question

计算∫C(x?y)dx+(x+y)dyx2+y2其中C是从点A（-a，0）到B（a，0）的上半椭圆x2a2+y2b2=1，（y≥0）

计算∫C(x?y)dx+(x+y)dyx2+y2其中C是从点A（-a，0）到B（a，0）的上半椭圆x2a2+y2b2=1，（y≥0）．

Answer 1

∵

?

?y

(

x?y

x2+y2

)＝

?(x2+y2)?2y(x?y)

(x2+y2)2

＝

?x2+y2?2xy

(x2+y2)2

，

?

?x

(

x+y

x2+y2

)＝

x2+y2?2x(x+y)

(x2+y2)2

＝

?x2+y2?2xy

(x2+y2)2

，
由此可知该曲线积分在不包含的区域内与积分路径无关．
因此∫C

(x?y)dx+(x+y)dy

x2+y2

＝∫L

(x?y)dx+(x+y)dy

x2+y2

，其中L是从A（-a，0）到B（a，0）的上半圆x²+y²=a²（y≥0）．

∫L (x?y)dx+(x+y)dy x2+y2 ＝ ∫ 0 π a(cosθ?sinθ)(?asinθ)+a(cosθ+sinθ)acosθ a2 dθ＝ ∫ 0 π dθ＝?π

也即∫C

(x?y)dx+(x+y)dy

x2+y2

＝?π．