Question

若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数f(x

若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数f(x)＝sin(x+φ)(x∈R，0＜φ＜π2)，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜

π

2

），f（-x）=sin（-x+φ）=-sin（x-φ），
则f（-x）+f（x）=sin（x+φ）-sin（x-φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜

π

2

，则0＜sinφ＜1，
当x=

π

2

时，f（-x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；
（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x∈[

1

2

，2]，则-2m=t+

1

t

，
设g（t）=t+

1

t

，则g'（t）=1-

1

t2

=

t2?1

t2

，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，
所以t∈[

1

2

，2]时，g（t）∈[2，

5

2

]．所以-2m∈[2，

5

2

]，
即m∈[-

5

4

，-1]．
（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
设t=2^x+2^-x，则t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等价为t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2时有解，
设g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
对称轴x=-

?2m

2

=m，
①若m≥2，则△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，
∴-2

2

≤m≤2

2

，此时2≤m≤2

2

，
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2时有解，
则

m＜2 g(2)≤0 △≥0

，即

m＜2 1? 3 ≤m≤1+ 3 ?2 2 ≤m≤2 2

，
解得1-

3

≤m＜2，
综上得，1-

3

≤m≤2

2

..