Question

已知抛物线C：x 2 =2py过点 P(1， 1 2 ) ，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与

已知抛物线C：x 2 =2py过点 P(1， 1 2 ) ，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．（1）求p的值；（2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵ P(1， 1 2 ) 在抛物线C上，∴1=2p? 1 2 ，得p=1．…（3分） （2）假设存在定点Q，设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB的方程为y=kx+b． 联立 y=kx+b x 2 =2y 得x 2 -2kx-2b=0， 当△=4k 2 +8b＞0时，有x 1 +x 2 =2k，x 1 x 2 =-2b．…（6分） ∴（x 1 -1）（x 2 -1）=x 1 x 2 -（x 1 +x 2 ）+1=-2b-2k+1（*） 由题意知，N（1，0），M（1，k+b）， 因为△PAM与△PBN的面积相等，所以 1 2 |PN|?|1- x 2 |= 1 2 |PM|?|1- x 1 | ， 即 |1- x 2 |=2|k+b- 1 2 |?| x 1 -1| ， 也即|1-x 2 |=|2k+2b-1|?|x 1 -1|…（10分） 根据（*）式，得（x 1 -1） 2 =1，解得x 1 =0或x 1 =2． 所求的定点Q即为点A， 即l过Q（0，0）或Q（2，2）时，满足条件．…（14分）