Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+12n+1（n∈N*）．（1）求证：数列{an?2n}是等差数列；（2）求{an}的

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=12an+12n+1（n∈N*）．（1）求证：数列{an?2n}是等差数列；（2）求{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
∴{2ⁿa_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）S_n=

2

2

+

3

22

+…+

n+1

2n

①

1

2

Sn＝

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②有

1

2

Sn＝

2

2

+

1

22

+…+

1

2n

?

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1?( 1 2 )n]

1? 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Sn＝3?

n+3

2n