Question

数列{an}满足a1=32，an+1=an2-an+1（n∈N*），则m=1a1+1a2+…+1a2014的整数部分是______

数列{an}满足a1=32，an+1=an2-an+1（n∈N*），则m=1a1+1a2+…+1a2014的整数部分是______．

Answer 1

由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴

1

an+1?1

=

1

an(an?1)

=

1

an?1

-

1

an

，
∴

1

an?1

-

1

an+1?1

=

1

an

，
通过累加，得m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1?1

=2-

1

a2015?1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，
即a_n+1≥a_n，
由a₁=

3

2

，a₂=

7

4

，a₃=

37

16

，
∴a₂₀₁₅≥a₂₀₁₄≥a₂₀₁₃≥…≥a₃＞2，
∴a₂₀₀₅-1＞1，
∴0＜

1

a2015?1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整数部分为1．
故答案为：1．