Question

已知函数 f(x)= x 2 +2x+a，x＜0 lnx，x＞0 ，其中a是实数，设A（x

已知函数 f(x)= x 2 +2x+a，x＜0 lnx，x＞0 ，其中a是实数，设A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ））为该函数图象上的点，且x 1 ＜x 2 ．（I）指出函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x 2 ＜0，求x 2 -x 1 的最小值；（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

（I）当x＜0时，f（x）=（x+1） 2 +a， ∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增； 当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增． （II）∵x 1 ＜x 2 ＜0，∴f（x）=x 2 +2x+a，∴f ′ （x）=2x+2， ∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f ′ （x 1 ），f ′ （x 2 ）， ∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直， ∴ f ′ ( x 1 )? f ′ ( x 2 )=-1 ， ∴（2x 1 +2）（2x 2 +2）=-1． ∴2x 1 +2＜0，2x 2 +2＞0， ∴ x 2 - x 1 = 1 2 [-(2 x 1 +2)+(2 x 2 +2)] ≥ [-(2 x 1 +2)](2 x 2 +2) =1，当且仅当-（2x 1 +2）=2x 2 +2=1，即 x 1 =- 3 2 ， x 2 =- 1 2 时等号成立． ∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x 2 ＜0，求x 2 -x 1 的最小值为1． （III）当x 1 ＜x 2 ＜0或0＜x 1 ＜x 2 时，∵ f ′ ( x 1 )≠ f ′ ( x 2 ) ，故不成立，∴x 1 ＜0＜x 2 ． 当x 1 ＜0时，函数f（x）在点A（x 1 ，f（x 1 ）），处的切线方程为 y-( x 21 +2 x 1 +a)=(2 x 1 +2)(x- x 1 ) ，即 y=(2 x 1 +2)x- x 21 +a ． 当x 2 ＞0时，函数f（x）在点B（x 2 ，f（x 2 ））处的切线方程为 y-ln x 2 = 1 x 2 (x- x 2 ) ，即 y= 1 x 2 x+ln x 2 -1 ． 函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是 1 x 2 =2 x 1 +2  ① ln x 2 -1=- x 21 +a  ② ， 由①及x 1 ＜0＜x 2 可得-1＜x 1 ＜0， 由①②得 a= x 21 +ln 1 2 x 1 +2 -1 = x 21 -ln(2 x 1 +2)-1 ． ∵函数 y= x 21 -1 ，y=-ln（2x 1 +2）在区间（-1，0）上单调递减， ∴a（x 1 ）= x 21 -ln(2 x 1 +2)-1 在（-1，0）上单调递减，且x 1 →-1时，ln（2x 1 +2）→-∞，即-ln（2x 1 +2）→+∞，也即a（x 1 ）→+∞． x 1 →0，a（x 1 ）→-1-ln2． ∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．