Question

（1）△ABC中，证明：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA（2）计算：sin217°+cos247°+sin17°cos47°

（1）△ABC中，证明：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA（2）计算：sin217°+cos247°+sin17°cos47°．

Answer 1

（1）△ABC中，根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA…（*）
又∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（R是外接圆半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R²sin²A=4R²sin²B+4R²sin²C-2?2RsinB?2RsinCcosA
两边约去4R²，得sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
（2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
∴sin²17°+cos²47°+sin17°cos47°=sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°
设△ABC中，B=17°，C=43°，则A=180°-（17°+43°）=120°
由（1）得：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA，
即sin²120°=sin²17°+sin²43°-2sin17°sin43°cos120°=sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°
∴sin²17°+sin²43°+sin17°sin43°=sin²120°=（

3

2

）²=

3

4

即sin²17°+cos²47°+sin17°cos47°=

3

4

．