已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范
已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为______．...
已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为______．
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∵|PF1|=4|PF2|，
∴由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a，
∴|PF2|=
，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF2|≥c-a，
∴
≥c-a，
∴e＝
≤
，
∵e＞1，
∴1＜e≤
，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，
]．
故答案为：（1，
]．
∴由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a，
∴|PF2|=
| 2a |
| 3 |
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF2|≥c-a，
∴
| 2a |
| 3 |
∴e＝
| c |
| a |
| 5 |
| 3 |
∵e＞1，
∴1＜e≤
| 5 |
| 3 |
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，
| 5 |
| 3 |
故答案为：（1，
| 5 |
| 3 |
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