Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，P F1P F2 =4ab，则双曲线的离心率是

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，P F1P F2 =4ab，则双曲线的离心率是 ▲ .

Answer 1

设PF1的长为m,PF2的长为n
由双曲线定义,有:|m-n|=2a (1)
由已知直角三角形PF1F2,有m^2+n^2=(2c)^2 (2)
由已知,mn=4ab (3)
三个方程联立,则
(1)^2-(2),得:-2mn=4a^2-4c^2=-4b^2
即:b^2=2ab,b=2a
所以b^2=4a^2,c^2=a^2+b^2=5a^2
e=c/a=根号5

Answer 2

设准线与x轴交于C点，
PF1⊥PF2，
直角三角形PF1F2的面积=1/2*|PF1|*|PF2|=1/2*|F1F2|*|PC|
而|PF1|*|PF2|=4ab
所以2ab=c*|PC|, |PC|=2ab/c
在直角三角形PF1F2中，|CF2|*|CF1|=|PC|²
即：(c-a^2/c)(c+a^2/c)= 4(ab)^2/c^2，
4(ab)^2/c^2=(c^4-a^4)/c^2，
4a^2*b^2=c^4-a^4，
∵b^2=c^2-a^2，
∴4a^2(c^2-a^2)=c^4-a^4
c^4-4a^2c^2+3a^4=0
(c^2-3a^2)(c^2-a^2)=0
因为c>a,
所以c=√3a，
离心率e=c/a=√3.