Question

（2014?云南一模）如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂

（2014?云南一模）如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E．（Ⅰ）求证：PA?PB=PO?PE；（Ⅱ）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：连结OD，∵AB是圆O的直径，
弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在圆O上，
∴∠DOA=∠DCF，∠POD=∠PCE，
又∵∠DPO=∠EPC，∴△PDO∽△PEC，
∴

PD

PE

＝

PO

PC

，∴PD?PC=PO?PE，
由切割线定理，得PA?PB=PD?PC，
∴PA?PB=PO?PE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：AB是弦DF的垂直平分线，
∴DE=EF．∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，∴∠DEA=∠FEA=45°．∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．∴

DH

DE

=

HO

EC

．
∴

3

6

＝

1

EC

．∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．