Question

设函数f(x)满足,①对任意实数m,n都有f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)②对任意m∈R 有f(1+

Answer 1

（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，
则f（x0）+f（x0）=2f（x0）f（0），
则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f2（1），
又f（0）=f（2），则f2（1）=1，则f（1）=±1，
由已知，f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）=2f（x），
即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；
（3）由f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，
则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，
令m=n=1/3
，f（2/3）+f（0）=2x2f（1/3），即f（2/3）+1=2x2f（1/3），
再令m=2/3，n=1/3得,f（1）+f（1/3）=2f（2/3）f（1/3），即f（1/3）-1=2f（2/3）f（1/3）
而f（2/3）＜1，解得，f（1/3）=1/2，f（2/3）=-1/2，由条件得，f（1/3）=f（5/3），f（2/3）=f（4/3），
故f（1/3）+f（2/3）+…+f（3/6）=0，f（x）以2为周期的周期函数，
则f(1/3)+f(2/3)+f(3/3)+…+f(2017/3)=336×0+f（2017/3）=f（1/3）=1/2

Answer 2

没了？题目写完了没？