Question

设函数f(x)满足:①对任意实数mn,都有f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)②对任意m∈R

设函数f(x)满足:①对任意实数mn,都有f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)②对任意m∈R，有f（1+m）=f(1-m)③f（x）不恒为0，且当x∈（0,1]时，f(x)＜1
(1)求f（0），f（1）的值
（2）判断f（x）的奇偶性，并给出证明
（3）试证明：函数f（x）为周期函数，并求出f（1/3）+f（2/3）+f(3/3)+······f(2017/3)的值

Answer 1

我是自己做的哦(1)令m,n=0得f(0)=0或1，因为f(x)不恒为零，所以f(0)=1,令m=0,n=1
且f(x)是以x=1为
对称轴
f(2)=f(0)，令m=n=1,得f(1)=1或-1又因为f(1)<1
f(1)=-1
(2):令m=0,得f(-n)=f(n),且f(0)不等于零，f(x)是
偶函数
(3)f(1-m)=f(m-1)=f(1
m)
f(m)=f(m
2)所以f(x)是以二为周期的
周期函数
f(1/3)=f(5/3),f(2/3)=f(4/3)带入到1式，得f(2/3)=-1/2，f(1/3)=1/2，所以原式等于f(1/3)=1/2(结果）

Answer 2

我是自己做的哦(1)令m,n=0得f(0)=0或1，因为f(x)不恒为零，所以f(0)=1,令m=0,n=1 且f(x)是以x=1为对称轴f(2)=f(0)，令m=n=1,得f(1)=1或-1又因为f(1)<1
f(1)=-1
(2):令m=0,得f(-n)=f(n),且f(0)不等于零，f(x)是偶函数
(3)f(1-m)=f(m-1)=f(1 m)
f(m)=f(m 2)所以f(x)是以二为周期的周期函数f(1/3)=f(5/3),f(2/3)=f(4/3)带入到1式，得f(2/3)=-1/2，f(1/3)=1/2，所以原式等于f(1/3)=1/2(结果）